Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Предложение 10.14   Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций.

       

Если проекции слагаемых одного знака, то доказательство очевидно из рис. 10.21.




Рис.10.21.Проекция суммы

Случай проекций разных знаков читатель может проанализировать самостоятельно или прочесть в одном из учебников из списка литературы.

        Предложение 10.15   Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число.

       

Доказательство очевидно из подобия треугольников на рис. 10.22.




Рис.10.22.Проекция произведения вектора на число


        Определение 10.23   Проекцией вектораbна векторa, $ {\bf a}\ne0$ , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.        

Проекция вектора b на вектор a обозначается $ Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ .

Очевидно, что $ Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b.

        Предложение 10.16   Проекции вектора на координатные оси равны коодинатам вектора.

       

        Определение 10.24   Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.        




Рис.10.23.Направляющие косинусы вектора


В соответствии с рис. 10.23, направляющими косинусами вектора a являются $ \cos{\alpha}$ , $ \cos{\beta}$ , $ \cos{\gamma}$ .

        Предложение 10.17   Координаты вектора равны его направляющим косинусам, умноженным на длину вектора. Если вектор единичный, то его координатами служат направляющие косинусы.

Доказательство  предложений 10.16, 10.17 предоставляется в качестве упражнения читателю.


        Пример 1.3   Поскольку $ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и $ (-\arccos x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ при $ x\in(-1;1)$ , то и $ F(x)=\arcsin x$ , и $ G(x)=-\arccos x$ служат первообразными для одной и той же функции $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $ (-1;1)$ . Заметим, что $ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$ при $ x\in[-1;1]$ , так что $ G(x)=F(x)-\frac{\pi}{2}$ .     

Точно так же, любая функция вида $ G(x)=x^2+C$ , где $ C$  -- произвольная постоянная, служит первообразной для $ f(x)=2x$ ; любая функция вида $ G(x)=\sin x+C$ , где $ C$  -- постоянная, -- это первообразная для $ f(x)=\cos x$ и т. д. Очевидно, что имеет место такое общее утверждение.

        Теорема 1.1   Пусть $ F(x)$  -- некоторая первообразная для $ f(x)$ на интервале $ (a;b)$ и $ C$  -- произвольная постоянная. Тогда функция $ G(x)=F(x)+C$ также является первообразной для $ f(x)$ на $ (a;b)$ .

        Доказательство.     Покажем, что производная от $ G(x)$ даёт $ f(x)$ :

$\displaystyle G'(x)=(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x)$

при всех $ x\in(a;b)$ . Таким образом, $ G(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ .     

Итак, если $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ (a;b)$ , то множество всех первообразных для $ f(x)$ , во всяком случае, содержит все функции вида $ F(x)+C$ . Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функции $ f(x)$ отличаются от $ F(x)$ лишь постоянным на $ (a;b)$ слагаемым $ C$ .

Математический анализ Типовые расчеты по математике