Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 Теорема 18.1   В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].

        Определение 18.3   Линейное пространство $ L$ , в котором существует базис, состоящий из $ n$ векторов, называется $ n$ -мерным линейным или векторным пространством. Число $ n$ называется размерностью пространства и обозначается $ {\dim L}$ . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.         

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в  примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.

        Предложение 18.1   Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность $ n$ .

        Доказательство.     Возьмем систему векторов

$\displaystyle e_1=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),\q... ...ght),\ldots ,\,e_n=\left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right).$

Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

$\displaystyle {\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n=0.$

Преобразуем левую часть:

$\displaystyle {\alpha}_1\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\rig... ...begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right).$

Следовательно,

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),$

откуда $ {\alpha}_1=0$ , $ {\alpha}_2=0,\ldots$ , $ {\alpha}_n=0$ . Итак, система векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- линейно независима.

Пусть $ b$ -- произвольный вектор пространства, $ {b=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right).}$ Очевидно, что

$\displaystyle {\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)= b.$

Следовательно, вектор $ b$ является линейной комбинацией векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тем самым доказано, что векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ образуют базис в пространстве столбцов из $ n$ элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- $ n$ -мерное.     

Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами, обозначается $ \mathbb{R}^n$ .

        Предложение 18.2   Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность $ n$ .     

Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается $ \mathbb{C}^n$ .

        Пример 18.3   Пространство решений однородной системы линейных уравнений $ {Ax=0}$ имеет базис из $ {n-r}$ решений, где $ n$  -- число неизвестных, а $ r$  -- ранг матрицы $ A$ . Этим базисом служит фундаментальная система решений (см.  определение 15.5 и  теорему 15.3).         

  Теорема 1. , где С = const.

 

  Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

 

  Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

 

 

  Теорема 3.

  Следствие.

 

  Теорема 4.  при

 

  Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

 

  Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

 

  Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

 

  Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

 

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

 или

, т.е.

где М = e + ïАï

Интегрирование по частям

 Если u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, то .

 Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл . Этот метод часто применяется, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, еdx и хb, е2х и sin b x, x и ln x, и arctg x и т.п.

 Пример 1.

.

  Здесь в интеграле подынтегральная функция не является произведение «разводных» функций х и cos x.

 Пример 2.

 

.

  Здесь в интеграле подынтегральная функция является алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном интеграле.

 Иногда, применяя метод интегрирования по частям, удается получить нетривиальное уравнение для нахождения первообразной функции.

Математический анализ Типовые расчеты по математике