Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пусть в $ n$ -мерном линейном пространстве $ L$ выбран базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис $ {e_1',\,e_2',\ldots,\,e_n'}$ , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор $ a$ из $ L$ . Его координатный столбец в старом базисе обозначим $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , а в новом -- $ {{\alpha}'=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1'\\ {\alpha}_2'\\ \vdots\\ {\alpha}_n'\end{array}\right)}$ . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

\begin{displaymath}\begin{array}{c} e_1'={\sigma}_{11}e_1+{\sigma}_{21}e_2+\ldo... ...a}_{1n}e_1+{\sigma}_{2n}e_2+\ldots+{\sigma}_{nn}e_n.\end{array}\end{displaymath}

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

$\displaystyle S=\left(\begin{array}{cccc} {\sigma}_{11}&{\sigma}_{12}&\ldots&{... ...sfor{4}\\ {\sigma}_{n1}&{\sigma}_{n2}&\ldots&{\sigma}_{nn}\end{array}\right).$

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

        Замечание 18.1   Матрица перехода всегда невырождена, то есть $ {\vert S\vert\ne0}$ .         
        Предложение 18.5   Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой
$\displaystyle {\alpha}=S{\alpha}',$(18.1)
 

где справа стоит произведение матрицы перехода $ S$ на матрицу-столбец.

        Доказательство.     Так как $ {\alpha}'$  -- координатный столбец вектора $ a$ в новом базисе, то

$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'e_j'.$

Заменив векторы $ e_j'$ их разложениями по старому базису, получим

$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'({\sigma}_{1j}e_1+{\sigma}_{2j}e_2+\ldot... ..._{i=1}^n{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n {\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i.$

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

$\displaystyle a=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n {\sigma}_{ij}{\alpha}_j'\right)e_i.$

Здесь мы получили разложение вектора $ a$ по старому базису, причем координата вектора с номером $ i$ равна $ \displaystyle \sum_{j=1}^n{\sigma}_{ij}{\alpha}_j'$ . Элемент с номером $ i$ столбца $ S{\alpha}'$ будет иметь такой же вид. Следовательно, формула  (18.1) доказана.     

  

 

 

 

 


 

 Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j1 соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1, т.е.

cosj = ±cosj1.

  Определим угол j1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

  Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

 

[an error occurred while processing this directive]  

 Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. 

  На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 

 Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

 

 Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: ïï.Это условие выполняется, если: .

 

Угол между прямыми в пространстве.

 

  Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l1: 

l2: 

 

 Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

 

.

Замена переменного

 Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:

.

  Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:

 А. Вычисление интегралов  n, m – целые

I. Если оба показателя n и m – неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

  .

II. Если n и m – натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 – сos2 x = sin2 x = cos2 x/

III. Если n и m – целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:

.

К этому типу сводятся интеграл вида

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике