Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 Пример 18.4   Пусть $ {L=\mathbb{R}^3}$ , то есть $ L$  -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$
Возьмем вектор $ {\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$
Пусть $ {\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$  -- координатный столбец вектора $ {\bf x}$ в новом базисе. Тогда
$\displaystyle \left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right)=S{\beta},$(18.2)
 

откуда
$\displaystyle {\beta}=S^{-1}\left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right).$
Найдем матрицу $ S^{-1}$ по формуле (14.14). Находим определитель
$\displaystyle \vert S\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right\vert=-1.$
Находим алгебраические дополнения
\begin{displaymath}\begin{array}{l}S_{11}=-1,\quad S_{12}=1,\quad S_{13}=2,\quad... ...3}=4,\quad S_{31}=1,\quad S_{32}=-2,\quad S_{33}=-3.\end{array}\end{displaymath}
Следовательно,
$\displaystyle S^{-1}=\frac1{-1}\left(\begin{array}{rrr}-1&-2&1\\ 1&3&-2\\ 2&4&-... ...\right)= \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{array}\right).$
Находим координаты вектора
$\displaystyle {\beta}=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{ar... ...\ -1\\ 3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}1\\ 3\\ 1\end{array}\right).$
Таким образом, новые координаты вектора $ {\bf x}$ : $ {{\beta}_1=1}$ , $ {{\beta}_2=3}$ , $ {{\beta}_3=1}$ , $ {{\bf x}={\bf e}_1+3{\bf e}_2+{\bf e}_3}$ .
Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}6={\beta}_1+2{\beta}_2-{\beta}_3,\\ -1={\beta}_1-{\beta}_2+{\beta}_3,\\ 3=2{\beta}_1+{\beta}_3.\end{array}\right.$
Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты $ {\beta}_1$ , $ {\beta}_2$ , $ {\beta}_3$ .         

  Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

 

 

 Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

 

 

Угол между прямой и плоскостью.

 

  Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

 

  

 a

 

 

 

 a

 

 Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 900 - j, где a - угол между векторами  и . Этот угол может быть найден по формуле:

 

В координатной форме:

 

Замена переменного

 Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:

.

  Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:

 А. Вычисление интегралов  n, m – целые

I. Если оба показателя n и m – неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

  .

II. Если n и m – натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 – сos2 x = sin2 x = cos2 x/

III. Если n и m – целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:

.

К этому типу сводятся интеграл вида

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике