Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

  Пример 8.5   Рассмотрим гиперболу $ y=\dfrac{a}{x}$ ($ a>0$). Поскольку $ y'=-\dfrac{a}{x^2}$ и $ y''=\dfrac{2a}{x^3}$, имеем
$\displaystyle k(x)= \left\vert\dfrac{\dfrac{2a}{x^3}}{\left(1+\dfrac{a^2}{x^4}... ...\frac{3}{2}}} \right\vert= \dfrac{2a\vert x\vert^3}{(x^4+a^2)^{\frac{3}{2}}}.$
    
        Пример 8.6   Найдём точку локального максимума кривизны гиперболы и покажем, что вершина гиперболы как кривой совпадает с её вершиной, понимаемой как пересечение гиперболы с её осью симметрии $ y=x$. [an error occurred while processing this directive]
Рассмотрим часть гиперболы, лежащую при $ x>0$ (вторая половина -- симметрична рассматриваемой). Поскольку $ z=t^{\frac{2}{3}}$ -- возрастающая при $ t\geqslant 0$ функция, точки экстремума функций $ k(x)$ и
$\displaystyle f(x)=(k(x))^{\frac{2}{3}}=(2a)^{\frac{2}{3}}\dfrac{x^2}{x^4+a^2}$
совпадают. Ввиду того, что функция $ t=x^2$ также возрастает при $ x\geqslant 0$, достаточно сделать замену $ x^2=t$ и перейти к нахождению экстремума функции
$\displaystyle g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2},$
график которой при $ t\geqslant 0$ имеет такой вид:
Рис.8.3.График функции $ g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2}$

Точка максимума $ t_0$ ищется из условия $ g'(t_0)=0$; легко подсчитать, что
$\displaystyle g'(t)=\dfrac{a^2-t^2}{(t^2+a^2)^2},$
откуда $ t_0=a$ и $ x_0=\sqrt{a}$ -- абсцисса вершины гиперболы как кривой $ y=\dfrac{a}{x}$.
С другой стороны, пересечение гиперболы с прямой $ y=x$ находим из уравнения
$\displaystyle \dfrac{a}{x}=x,$
откуда также получаем, что вершина гиперболы имеет абсциссу $ x_0=\sqrt{a}$.
Отметим, что кривизна гиперболы в её вершине равна
$\displaystyle k_{\max}=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.$
    

Рис.8.4.Гипербола и её две симметричных вершины

        Упражнение 8.2   Эллипс -- это кривая, которая в некоторой декартовой системе координат $ xOy$ на плоскости задаётся уравнением
$\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,$
где $ a$ и $ b$ -- положительные числа и $ a\ne b$.
Покажите, что четыре точки пересечения эллипса с осями координат являются его вершинами, причём в двух вершинах кривизна принимает наибольшее значение, а в двух других -- наименьшее. Для этого рассмотрите, как из данного уравнения выражаются зависимости $ y(x)$ и $ x(y)$.
Рис.8.5.Эллипс и его четыре вершины

Найдите значение кривизны в вершинах эллипса.     

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.     

Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

  Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.

Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано.

[an error occurred while processing this directive]

  z

 

 

 

 

 

 

 

 ОМ1 = r; MM1 = h;

 Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q).

 

Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

 

Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,j,q), где j - угол между r и нормалью.

 

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат.

 

 

  Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

 

  h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = ; sinq = .Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной.

 

  В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:

 

 

Замена переменного

 Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:

.

  Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:

 А. Вычисление интегралов  n, m – целые

I. Если оба показателя n и m – неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

  .

II. Если n и m – натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 – сos2 x = sin2 x = cos2 x/

III. Если n и m – целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:

.

К этому типу сводятся интеграл вида

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике