Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Упражнение19.1.1. Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в вектор $ x'$ симметричный исходному относительно прямой $ l$ (рис. 19.5). Другими словами, $ x'$ является зеркальным отражением вектора $ x$ в прямой $ l$ .

Рис.19.5.Преобразование отражения


Докажите, что $ \mathcal{A}$ является линейным преобразованием.



Упражнение19.1.2. Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в его проекцию на прямую $ l$ (рис. 19.6).

Рис.19.6.Преобразование проектирования


Докажите, что $ \mathcal{A}$ является линейным преобразованием.

        Пример 19.3   Пусть $ L$  -- пространство всех многочленов, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, которое переводит вектор из $ L$ , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из $ L$ . Пусть $ {x\in L}$ , то есть $ {x=a_0+a_1t+a_2t^2+\ldots+a_kt^k}$ . Тогда
$\displaystyle \mathcal{A}(x)=x'=a_1+2a_2t+\ldots+ka_kt^{k-1}.$
Например, если $ {x=1-3t+t^2+2t^3}$ , то $ {\mathcal{A}(x)=-3+2t+6t^2}$ . Покажем, что преобразование $ \mathcal{A}$ является линейным.
Пусть $ x,y\in L$ , $ {\alpha}$  -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим
$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=(x+y)'=x'+y'=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y).$
Аналогично,
$\displaystyle \mathcal{A}({\alpha}x)=({\alpha}x)'={\alpha}x'={\alpha}\mathcal{A}(x).$
Следовательно, $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование.         
        Пример 19.4   Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда у любого вектора $ x$ есть его координатный столбец $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ . Пусть $ A$  -- квадратная матрица порядка $ n$ . Определим преобразование $ \mathcal{A}$ следующим образом: $ {x'=\mathcal{A}(x)}$ является вектором, координатный столбец которого равен $ {{\alpha}'=A{\alpha}}$ (справа стоит произведение матрицы $ A$ на столбец $ {\alpha}$ ). Покажем, что преобразование $ \mathcal{A}$  -- линейное.
Пусть $ x$ и $ y$ имеют координатные столбцы $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ соответственно, а их образы $ \mathcal{A}(x)$ и $ \mathcal{A}(y)$  -- координатные столбцы $ {\alpha}'$ , и $ {\beta}'$ . Тогда
$\displaystyle {\alpha}'=A{\alpha},\quad {\beta}'=A{\beta},\quad {\alpha}'+{\beta}'=A{\alpha}+A{\beta}=A({\alpha}+{\beta}).$
Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов $ {x+y}$ . Следовательно, $ {\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)=\mathcal{A}(x+y)}$ .
Пусть $ {\lambda}$  -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора $ {\lambda}x$ равен $ {\lambda}{\alpha}$ , координатный столбец образа вектора
$\displaystyle A({\lambda}x)={\lambda}A{\alpha}={\lambda}{\alpha}',$
то есть равен числу $ {\lambda}$ , умноженному на координатный столбец образа вектора $ x$ . Поэтому $ {\mathcal{A}({\lambda}x)={\lambda}\mathcal{A}(x)}$ . Тем самым мы доказали, что преобразование $ \mathcal{A}$ является линейным.         

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, $ {\mathcal{A}(x)=x}$ , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, $ {\mathcal{A}(x)=0}$ .

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования $ \mathcal{A}$ образ нуля равен нулю, $ {\mathcal{A}(0)=0}$ . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)

$\displaystyle \mathcal{A}(0)=\mathcal{A}(0\cdot x)=0\cdot\mathcal{A}(x)=0.$

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;

  Для корня l1 = 7:

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

 

  Для корня l2 = 1:

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

 

  Полученные собственные векторы можно записать в виде:

 Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

 

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 4l + 4 = 0;

 

Корни характеристического уравнения: l1 = l2 = 2;

  Получаем:

Из системы получается зависимость: x1 – x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.

 

  Собственный вектор можно записать: .

 

 

  Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

 

  Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

 

, то

 

Характеристическое уравнение:  

  Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

  Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Замена переменного

 Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:

.

  Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:

 А. Вычисление интегралов  n, m – целые

I. Если оба показателя n и m – неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

  .

II. Если n и m – натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 – сos2 x = sin2 x = cos2 x/

III. Если n и m – целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:

.

К этому типу сводятся интеграл вида

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике