Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

В  примере 19.4 было показано, что преобразование $ n$ -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор $ x$ . Пусть $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$  -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ обозначим $ {\beta}$ .

Запишем разложение вектора $ x$ по базису пространства $ {x={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n}$ . Для образа этого вектора получим

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\mathcal{A}({\alpha}_1e_1+\ldots+{\alpha}_ne_n)= ... ..._1)+\ldots+{\alpha}_n\mathcal{A}(e_n)= \sum_{j=1}^n{\alpha}_j\mathcal{A}(e_j).$(19.2)
 


Векторы $ {\mathcal{A}(e_1),\,\mathcal{A}(e_2),\ldots,\,\mathcal{A}(e_n)}$ имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их $ \left(\begin{array}{c}a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1}\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{c}a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{n2}\end{array}\right)$ , ..., $ \left(\begin{array}{c}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{nn}\end{array}\right)$ соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

$\displaystyle \mathcal{A}(e_j)=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i,\quad j=1,\,2,\ldots,\,n.$

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя  предложение 14.3, изменим порядок суммирования

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j\left(\sum_{i=1}^na_{ij}e_i\... ..._{ij}{\alpha}_j)e_i= \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j\right)e_i.$

Это равенство означает, что $ i$ -той координатой вектора $ \mathcal{A}(x)$ служит $ {\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j}$ .

Составим матрицу $ A$ из координатных столбцов векторов $ {\mathcal{A}(e_1)}$ , ...,$ {\mathcal{A}(e_n)}$

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{2... ...dots&a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{array}\right).$

Вычислим произведение матрицы $ A$ на столбец $ {\alpha}$

$\displaystyle A{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle\sum_{j=1}^na_{1j}{... ..._j}\\ \vdots\\ {\displaystyle\sum_{j=1}^na_{nj}{\alpha}_j}\end{array}\right).$

Мы видим, что $ i$ -ый элемент столбца совпадает с $ i$ -ой координатой вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ . Поэтому

$\displaystyle {\beta}=A{\alpha}.$(19.3)
 


Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица $ A$ называется матрицей линейного преобразования $ \mathcal{A}$ . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

Пример. В разложении  найти члены, содержащие хa, если k=3, p=2, n=8, a=9.

 

 По фомуле бинома Ньютона имеем:

 C учетом числовых значений:

  [an error occurred while processing this directive]

 В принципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти только член разложения, содержащий х9.

 Найдем число i, соответствующее этому члену:

 

 Находим:

 Пример. В разложении  найти члены, содержащие xg. т=9, g=6.

 

 По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:

 

 Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения ni, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т.к. надо найти только члены, содержащие х6, то n1 = 6, а сумма всех четырех значений п равна 9. Значит, сумма п2 + п3 + п4 = 3.

 Рассмотрим возможные значения этих величин:

 

n2

0

0

3

1

1

0

2

0

2

1

n3

0

3

0

2

0

1

1

2

0

1

n4

3

0

0

0

2

2

0

1

1

1

 

 Искомые члены разложения:

 

 

Замена переменного

 Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:

.

  Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:

 А. Вычисление интегралов  n, m – целые

I. Если оба показателя n и m – неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

  .

II. Если n и m – натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 – сos2 x = sin2 x = cos2 x/

III. Если n и m – целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:

.

К этому типу сводятся интеграл вида

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике