Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения $ f(x)=0$ заранее требуется знать какой-либо отрезок $ [a;b]$, на котором лежит искомый корень $ x^*$, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения $ f(x)=0$). В этом случае говорят, что корень $ x^*$ отделён на отрезке $ [a;b]$. Отделить корень -- значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Кроме того, часто нужно знать начальное приближение $ x_0$ к корню $ x^*$ (который, заметим, неизвестен). В качестве этого начального приближения берут, как правило, любую точку отрезка, на котором отделён корень, например, его середину $ x_0=\dfrac{a+b}{2}$, если описание метода не предписывает поступить как-нибудь иначе.

Приведём некоторые утверждения, которые могут помочь при отделении корня.

        Теорема 9.1 (теорема 3.6 о корне непрерывной функции)   Если функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём значения её в концах отрезка $ f(a)$ и $ f(b)$ -- это числа разных знаков, то на отрезке $ [a;b]$ лежит по крайней мере один корень уравнения $ f(x)=0$.   

Практический смысл теоремы -- в том, что если мы, вычисляя значения функции в некоторых точках, видим, что вычисление в двух соседних точках даёт значения разных знаков, то на отрезке между этими точками лежит отыскиваемый корень. Если же известно заранее, что корень один, то получаем, что корень отделён на найденном отрезке. Этот же способ, когда мы наугад вычисляем значения функции в каких-то точках, может привести к отделению корней и в случае, когда корней несколько, но заранее известно их число или хотя бы оценка сверху для их количества. Рассмотрим иллюстрирующий сказанное пример.

        Пример 9.1   Рассмотрим уравнение $ x^3-4x+2=0$. Это уравнение третьей степени, поэтому у него не более трёх корней. Подсчитаем несколько значений функции $ f(x)=x^3-4x+2$, выбирая для простоты целые значения $ x$:
$\displaystyle f(-3)=-13; f(-2)=2; f(-1)=5;f(0)=2;f(1)=-1;f(2)=2.$
Функция $ f(x)$ непрерывна (любой многочлен непрерывен), и имеет разные знаки на концах отрезков $ [-3;-2]; [0;1]$ и $ [1;2]$; следовательно, по теореме о корне непрерывной функции, на каждом из этих трёх отрезков имеется не менее чем по одному корню. Однако корней не более трёх, так что на каждом отрезке -- ровно по одному корню. Тем самым нам удалось отделить все три корня $ x^*$, $ x^{**}$ и $ x^{***}$ уравнения (и при этом установить, что их действительно три, а не меньше):
$\displaystyle x^*\in[-3;-2]; x^{**}\in[0;1]; x^{***}\in[1;2].$
        Теорема 9.2   Если функция $ f(x)$ строго монотонна на отрезке $ [a;b]$, то есть возрастает или убывает на $ [a;b]$, то на этом отрезке уравнение $ f(x)=0$ не может иметь более одного корня.

Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение 0 принимается один раз, то есть уравнение $ f(x)=0$ имеет один корень.     

Тем самым, если отрезок $ [a;b]$, на котором заведомо имеется хотя бы один корень (например, если $ f(a)$ и $ f(b)$ -- разного знака), -- это отрезок строгой монотонности функции, то на $ [a;b]$ отделён ровно один корень $ x^*$.

Заметим, что интервалы монотонности функции $ f(x)$ можно отыскивать, решая неравенства $ f'(x)>0$ (что соответствует возрастанию функции) и $ f'(x)<0$ (что соответствует убыванию).

  1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

  2) Рациональная функция  непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

 

  3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.

Докажем свойство 3 для функции y = sinx.

Запишем приращение функции Dy = sin(x + Dx) – sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций  и . При этом функция косинус – ограниченная функция при Dх®0 , а т.к.

предел функции синус , то она является бесконечно малой при Dх®0.

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция Dу – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.

Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.

Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения. 

Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить = = а sin t.

 Так как выражение имеет смыл только при |x| £ a, то и первообразная ищется на промежутке –а < x < a, следовательно, можно считать, что  тогда = а cos t.

II. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить .

  В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t.

 В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

III. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить х = а tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле (), при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике