Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, $ {e_1,\ldots,\,e_n}$ и $ {e_1',\ldots,\,e_n'}$  -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть $ S$  -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование пространства $ L$ , $ A$ и $ A'$  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда
 
$\displaystyle A'=S^{-1}AS.$
[an error occurred while processing this directive]

        Доказательство.     Пусть $ x$  -- произвольный вектор пространства $ L$ , $ y$  -- его образ, то есть $ {y=\mathcal{A}(x)}$ . Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$  -- координатные столбцы векторов $ x$ и $ y$ в старом базисе, а $ {\alpha}'$ , $ {\beta}'$  -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) $ {{\beta}=A{\alpha}}$ . По  предложению 18.5 имеем $ {{\alpha}=S{\alpha}'}$ , $ {{\beta}=S{\beta}'}$ . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем $ {S{\beta}'=A(S{\alpha}')}$ . Откуда $ {{\beta}'=(S^{-1}AS){\alpha}'}$ . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе $ {{\beta}'=A'{\alpha}'}$ . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем $ {A'=S^{-1}AS}$ .     

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы $ P$ и $ Q$ одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица $ S$ , что $ {P=S^{-1}QS}$ .         
        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

 

 

 

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода 

 

 

 


 

Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить = = а sin t.

 Так как выражение имеет смыл только при |x| £ a, то и первообразная ищется на промежутке –а < x < a, следовательно, можно считать, что  тогда = а cos t.

II. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить .

  В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t.

 В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

III. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить х = а tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле (), при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике