Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Снова предположим, что корень отделён на отрезке $ [a;b]$ и знаки $ f(a)$ и $ f(b)$ различны (функция $ f(x)$ меняет знак при переходе через корень $ x^*$).

Положим $ a_0=a$ и $ b_0=b$ и вычислим значения функции в левом конце отрезка, $ f(a_0)$, и в его середине $ c_0=\dfrac{a_0+b_0}{2}$: $ f(c_0)$. Сравним знаки чисел $ f(a_0)$ и $ f(c_0)$. Если эти знаки различны, то корень $ x^*$ лежит в интервале $ (a_0;c_0)$; если же одинаковы, то тогда различны знаки $ f(c_0)$ и $ f(b_0)$, и корень лежит в интервале $ (c_0;b_0)$. (Возможен ещё случай $ f(c_0)=0$; тогда корень $ x^*=c_0$ уже найден.) В обоих случаях смены знака корень оказывается отделён на отрезке $ [a_0;c_0]$ либо $ [c_0;b_0]$, длина которого ровно в два раза меньше длины исходного отрезка $ [a_0;b_0]=[a;b]$. Обозначим этот отрезок половинной длины через $ [a_1;b_1]$ (то есть положим $ a_1=a_0;b_1=c_0$ в случае, когда $ f(a_0)$ и $ f(c_0)$ разных знаков, и $ a_1=c_0;b_1=b_0$ в случае, когда $ f(a_0)$ и $ f(c_0)$ одного знака).

Далее повторим процесс для отрезка $ [a_1;b_1]$: снова отыщем его середину $ c_1$, найдём значение функции $ f(c_1)$ и сравним знак этого числа со знаком $ f(a_1)$; если знаки разные, то корень отделён на $ [a_2;b_2]=[a_1;c_1]$, если одинаковые, то на $ [a_2;b_2]=[c_1;b_1]$ (или же оказывается, что $ f(c_1)=0$; тогда корень найден). Длина отрезка, на котором отделён корень, уменьшилась ещё в два раза. [an error occurred while processing this directive]

Рис.9.2.Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню $ x^*$

Поступая тем же образом и далее, получаем, что после $ k$ делений длина отрезка, на котором лежит корень, сокращается в $ 2^k$ раз и становится равной $ {\delta}_k=\dfrac{b-a}{2^k}$ (если корень не был точно определён на каком-то предыдущем этапе, то есть не совпал с $ c_i$ при некотором $ i$). Пусть $ {\varepsilon}$ -- заданная точность, с которой требуется отыскать корень. Процесс деления отрезков следует остановить, как только станет верным неравенство $ 2{\delta}_k\leqslant {\varepsilon}$. Очевидно, что если при этом положить

$\displaystyle \wt x=c_k=\dfrac{a_k+b_k}{2},$

то расстояние от корня $ x^*$, лежащего где-то в интервале $ (a_k;b_k)$, до середины этого интервала $ \wt x$ будет не больше $ {\varepsilon}$, то есть приближённое равенство $ x^*\approx\wt x$ будет выполнено с нужной точностью.

  Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

 

; 

в некотором базисе .

  Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

 или 

 

  Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

 

  Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

  [an error occurred while processing this directive]

 Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

 

  Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

  Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением  l.

 Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

 

  Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений.  (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

 

  Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить = = а sin t.

 Так как выражение имеет смыл только при |x| £ a, то и первообразная ищется на промежутке –а < x < a, следовательно, можно считать, что  тогда = а cos t.

II. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить .

  В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t.

 В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

III. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить х = а tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле (), при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике