Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

  Пример 9.5   Снова рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. Пусть корень этого уравнения требуется вычислить с точностью $ {\varepsilon}=0.001$. Начинаем решение методом половинного деления с отрезка $ [-2;-1]$, на котором отделён корень $ x^*$.
Последовательно находим значение функции в серединах получающихся отрезков:
\begin{multline*} f(-1.5)=1.625;f(-1.75)=0.515625;f(-1.875)=-0.185547;\dots;\\ f(-1.841797)=0.011269, \end{multline*}
после чего вычисления прекращаются на девятом шаге, так как очередной отрезок имеет длину $ \dfrac{1}{2^9}=\dfrac{1}{512}<2{\varepsilon}=\dfrac{1}{500}.$ При этом середина последнего отрезка -- это точка $ -1.842773$. Получаем, что приближённое значение $ \wt x$ корня $ x^*$ с точностью до $ 0.001$ равно $ \wt x\approx-1.843$.     

Поскольку при каждом делении отрезка приходится ровно один раз вычислять значение функции $ f(x)$ (в том из концов нового отрезка, в котором это значение не было вычислено на предыдущих этапах), то в среднем придётся для нахождения корня с точностью $ {\varepsilon}$ вычислить значение функции $ N=k+1$ раз. Число $ k$ можно определить из неравенства $ \dfrac{b-a}{2^k}\leqslant 2{\varepsilon}$, откуда

$\displaystyle N=k+1=\left\lceil\log_2\dfrac{b-a}{2{\varepsilon}}\right\rceil+1.$

Это значение $ N$ при малых $ {\varepsilon}$ много меньше того значения $ N=\left\lceil\dfrac{b-a}{2{\varepsilon}}\right\rceil+1$, которое мы получили, анализируя метод простого перебора.

Заметим, что метод деления отрезка пополам, как и метод простого перебора, не предъявляет никаких требований к гладкости функции (то есть к существованию её производной): достаточно, чтобы функция была непрерывной.

Далее мы рассмотрим более быстрые методы, в которых наличие производной будет играть существенную роль.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

 

,

 

где n – целое положительное число.

 

 Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

 

 Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

 

 Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

 

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

 

 

 5) Извлечение корня из комплексного числа.

 

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить = = а sin t.

 Так как выражение имеет смыл только при |x| £ a, то и первообразная ищется на промежутке –а < x < a, следовательно, можно считать, что  тогда = а cos t.

II. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить .

  В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t.

 В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

III. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить х = а tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле (), при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике