Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Обзор некоторых элементарных функций

Многочлен. Это функция вида $ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$, где $ a_i\in\mathbb{R}$, $ a_0\ne0$. Число $ n\in\mathbb{N}$ называется степенью многочлена. При $ {n=1}$ и $ {n=2}$ многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При $ a_0=1$ и $ a_i=0$ ( $ i=1,\dots,n$) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; при чётном значении степени $ n$ характерный вид графика таков:

Рис.1.15.График многочлена чётной степени при $ a_0>0$
[an error occurred while processing this directive]



или таков:

Рис.1.16.График многочлена чётной степени при $ a_0<0$


а при нечётном значении степени $ n$ -- таков:

Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при $ a_0>0$


или таков:

Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при $ a_0<0$


Для вычисления интегралов вида

 

$\displaystyle I_m=\int\frac{dx}{\cos^mx},\ J_m= \int\frac{dx}{\sin^mx},\ m\in\mathbb{N},$

потребуются более сложные преобразования, нежели в предыдущем разделе.

Заметим, что при $ m=1$ и $ m=2$ получаются табличные интегралы:

$\displaystyle I_1=\int\frac{dx}{\cos x}= \ln\Bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits... ...ac{dx}{\sin x}= \ln\Bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\Bigr\vert+C,$   
$\displaystyle I_2=\int\frac{dx}{\cos^2x}=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C,\ <tex2html_comment_mark>76 J_2=\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\mathop{\rm ctg}\nolimits x+C.$   

Выведем формулы, позволяющие свести вычисление $ I_m$ и $ J_m$ к $ I_{m-2}$ и $ J_{m-2}$ соответственно. Применяя эти формулы к исходным интегралам несколько раз, при чётном $ m$ мы сведём дело к вычислению табличного интеграла $ I_2$ или $ J_2$ , а при нечётном $ m$  -- к вычислению табличного интеграла $ I_1$ или $ J_1$ .

Итак, получим формулу, выражающую $ I_m$ через $ I_{m-2}$ ; эта формула называется формулой понижения степени. Преобразуем интеграл $ I_m$ следующим образом:

$\displaystyle I_m=\int\frac{dx}{\cos^mx}= \int\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^mx}dx= \int\frac{dx}{\cos^{m-2}x}+\int\sin x\frac{\sin x}{\cos^mx}dx=$   
$\displaystyle =I_{m-2}+\int\sin x\frac{\sin x}{\cos^mx}dx.$   

Последний интеграл вычислим, применив формулу интегрирования по частям:

$\displaystyle \int\sin x\frac{\sin x}{\cos^mx}dx= \left\vert\begin{array}{l} ... ...nt\frac{d\cos x}{\cos^mx}=\frac{1}{(m-1)\cos^{m-1}x} \end{array} \right\vert=$   
$\displaystyle =\frac{\sin x}{(m-1)\cos^{m-1}x}- \frac{1}{m-1}\int\frac{\cos x\,dx}{\cos^{m-1}x} =\frac{\sin x}{(m-1)\cos^{m-1}x}-\frac{1}{m-1}I_{m-2}.$   

(В комментарии, между вертикальными чёрточками, мы не вполне корректно обозначили через $ \int dv$ не полный набор первообразных для $ v'$ , а какую-либо, произвольную, первообразную, одну из которых и нашли. Только эта первообразная нам и нужна для дальнейшего. Поэтому произвольную постоянную $ C$ добавлять не стали.) После этого получаем

$\displaystyle I_m=I_{m-2}+\frac{\sin x}{(m-1)\cos^{m-1}x}-\frac{1}{m-1}I_{m-2}= \frac{m-2}{m-1}I_{m-2}+\frac{\sin x}{(m-1)\cos^{m-1}x}.$(2.2)

Мы получили выражение интеграла $ I_m$ через интеграл $ I_{m-2}$ и известную функцию.

С помощью аналогичных преобразований, для интеграла $ J_m$ получаем такое выражение через интеграл $ J_{m-2}$ и известную функцию:

$\displaystyle J_m=\frac{m-2}{m-1}J_{m-2}-\frac{\cos x}{(m-1)\sin^{m-1}x}.$(2.3)

Как упражнение, выполните эти преобразования и получите приведённую здесь формулу (2.3).

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции