Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Функция котангенс: $ f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ (в англоязычной литературе также $ \cot x$). По определению, $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$. Если $ x\ne\dfrac{k\pi}{2}$ ( $ k\in\mathbb{Z}$), то $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}$. Функция $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ нечётна и периодична с периодом $ \pi$;

 

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi;(k+1)\pi),$

 

то есть $ x$ не может принимать значения вида $ x=k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, при которых $ \sin x$ обращается в 0.

Рис.1.26.График функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x$


Абсолютная величина (модуль): $ f(x)=\vert x\vert$, $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки $ x\in\mathbb{R}$ до точки 0:

 

$\displaystyle \vert x\vert=\left\{\begin{array}{l} x,\mbox{ если }x\geqslant 0;\\ -x,\mbox{ если }x<0. \end{array}\right. $

 

Функция $ \vert x\vert$ чётная, её график такой:

Рис.1.27.График функции $ \vert x\vert$

        Пример 2.12   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx.$

Сделав замену $ z=x+1$ , получаем:

$\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx= \int\frac{2(x+1)+1}{\bigl((x+1)^2+1\bigr)^3}dx= \int\frac{2z\,dz}{(z^2+1)^3}+ \int\frac{dz}{(z^2+1)^3}.$

В первом из двух слагаемых сделаем замену $ s=z^2+1$ и получим:

$\displaystyle \int\frac{2z\,dz}{(z^2+1)^3}=-\frac{1}{2(z^2+1)^2}+C.$

Во втором слагаемом применим описанный выше метод понижения степени:

$\displaystyle I_3=\int\frac{dz}{(z^2+1)^3}= \int\frac{(z^2+1)-z^2}{(z^2+1)^3}dz= \int\frac{dz}{(z^2+1)^2}- \int\frac{z^2}{(z^2+1)^3}dz=$   
$\displaystyle =I_2-\int z\cdot\frac{z\,dz}{(z^2+1)^3}= I_2+\frac{z}{4(z^2+1)^2}-\frac{1}{4}\int\frac{dz}{(z^2+1)^2}= \frac{3}{4}I_2+\frac{z}{4(z^2+1)^2}.$   

Для вычисления $ I_2$ ещё раз применим тот же самый приём:

$\displaystyle I_2=\int\frac{dz}{(z^2+1)^2}= \int\frac{(z^2+1)-z^2}{(z^2+1)^2}dz= \int\frac{dz}{z^2+1}- \int\frac{z^2}{(z^2+1)^2}dz=$   
$\displaystyle =I_1-\int z\cdot\frac{z\,dz}{(z^2+1)^2}= I_2+\frac{z}{2(z^2+1)}-\frac{1}{2}\int\frac{dz}{z^2+1}= \frac{1}{2}I_1+\frac{z}{2(z^2+1)}.$   

Поскольку

$\displaystyle I_1=\int\frac{dz}{z^2+1}=\mathop{\rm arctg}\nolimits z+C,$

имеем

$\displaystyle I_3=\frac{3}{4}\Bigl(\frac{1}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\fr... ...3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z}{4(z^2+1)^2}+C $

и

$\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx= -\frac{1}{2(z^2+1)^2}+ \frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z}{4(z^2+1)^2}+C=$   
$\displaystyle =\frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z-2}{4(z^2+1)^2}+C=$   
$\displaystyle =\frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits (x+1)+\frac{3x+3}{8(x^2+2x+2)}+\frac{x-1}{4(x^2+2x+2)^2}+C.$   

    

Приведём теперь пример на интегрирование правильной рациональной дроби общего вида:

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD Компания Узнай о мире всё занимается рекламой на АЗС;прикольные стишки о жизни;Надежные электростанции Экономичные; Метод суперпозиции