Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Обратные тригонометрические функции. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.

Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве. На координатной плоскости $ \mathbb{R}^2=\{(x_1;x_2):x_1\in\mathbb{R},x_2\in\mathbb{R}\}$ расстояние $ r$ от точки $ M(x_1;x_2)$ до точки $ O(0;0)$ определяется по формуле $ r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ (по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию

 

$\displaystyle f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}; f(x_1;x_2)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}.$

 

Эта функция имеет область значений

 

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}:y\geqslant 0\}.$

 

График её ограничения на круг $ A\sbs\mathbb{R}^2$ построен в примере 1.8.

Аналогично, расстояние $ r$ в пространстве $ \mathbb{R}^3$ от точки $ M(x_1;x_2;x_3)$ до точки $ O(0;0;0)$ определяется по формуле $ r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ и задаёт функцию

 

$\displaystyle f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}; f(x_1;x_2;x_3)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x^2_3}.$

 

Эта функция имеет ту же область значений

 

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}:y\geqslant 0\},$

 

что и в двумерном случае.


 

2. Интегралы от произведений синусов и косинусов.

a). Интегралы от произведений синусов и косинусов с разными аргументами, линейно зависящими от $ x$ , упрощаются, если применить тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму:

$\displaystyle \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\bigl(\cos({\alpha}-{\beta})-\cos({\alpha}+{\beta})\bigr);$   
$\displaystyle \sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\bigl(\sin({\alpha}-{\beta})+\sin({\alpha}+{\beta})\bigr);$   
$\displaystyle \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\bigl(\cos({\alpha}-{\beta})+\cos({\alpha}+{\beta})\bigr).$   

        Пример 2.2   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$

Преобразуем произведение $ \cos5x\sin7x$ в сумму:

$\displaystyle \cos5x\sin7x= \frac{1}{2}\bigl(\sin(7x-5x)+\sin(7x+5x)\bigr)= \frac{1}{2}\bigl(\sin2x+\sin12x\bigr). $

Тогда

$\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx= \frac{1}{2}\int\bigl(\sin2x+\sin12x\bigr)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2}\bigl(-\frac{\cos2x}{2}-\frac{\cos12x}{12}\bigr)+C= -\frac{\cos2x}{4}-\frac{\cos12x}{24}+C.$   

    

б). Расмотрим теперь интегралы вида

$\displaystyle \int\sin^mx\cos^nx\,dx,$

где хотя бы одно из чисел $ m$ и $ n$  -- нечётное положительное. Такие интегралы вычисляются заменой $ s=\sin x$ , если нечётна степень косинуса, или $ c=\cos x$ , если нечётна степень синуса. Действительно, пусть $ n>0$  -- нечётное число. Запишем $ \cos^nx\,dx$ как

$\displaystyle \cos^{n-1}x\cdot(\cos x\,dx)= \cos^{n-1}x\cdot d(\sin x),$

а оставшуюся чётную степень косинуса, $ \cos^{n-1}x$ , выразим через синус с помощью формулы

$\displaystyle \cos^2x=1-\sin^2x.$

Получим интеграл

$\displaystyle \int\sin^mx\cos^nx\,dx=\int\sin^mx(1-\sin^2x)^{\frac{n-1}{2}}d(\sin x)= \int s^m(1-s^2)^{\frac{n-1}{2}}\,ds. $

После раскрытия скобок этот интеграл легко вычисляется. Аналогично нужно поступать и в случае нечётной степени $ m$ , используя равенство $ \sin x\,dx=-d(\cos x)$ .

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции