Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

        Определение 10.25   Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное $ \vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b.        
        Замечание 10.4   Если один из векторов нулевой, то угол $ {\varphi}$ не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.        

Скалярное произведение обозначается $ {\bf a}\cdot{\bf b}$ , или $ {\bf a}{\bf b}$ , или $ ({\bf a},{\bf b})$ . Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается $ {\bf a}^2$ . Скалярное произведение обладает следующими свойствами, которые мы сформулируем в виде теоремы.

        Теорема 10.2   Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения:
1) $ {\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf a}$ , свойство коммутативности;
2)$ {\bf a}({\bf b}+{\bf c})={\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}$ , свойство дистрибутивности;
3) $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\lambda}({\bf a}{\bf b})$ ;
4)$ {\bf a}^2>0$ при $ {\bf a}\ne0$ ;
5)$ {\bf a}^2=\vert{\bf a}\vert^2$ ;
6) Если $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b, то $ \cos{\varphi}=\dfrac{{\bf a}{\bf b}} {\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert}$ ;
7) $ {\bf a}{\bf b}=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ , если $ {\bf a}\ne0$ ;
8) $ {\bf a}{\bf b}=0$ тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

        Доказательство.    Свойства 1,4,5,6 очевидным образом следуют из определения скалярного произведения. Свойство 8 получим, если вспомним, что нулевой вектор считается ортогональным любому вектору. Свойство 7 получим из определения скалярного произведения, использовав  предложение 10.13, в силу которого $ { Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}}$ .

[an error occurred while processing this directive]

Докажем свойство 2. В силу свойства 7, при $ {\bf a}\ne0$ , имеем $ {{\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}({\bf b}+{\bf c})}$ . По  предложению 10.14 $ { Пр_{{\bf a}} ({\bf b}+{\bf c})=Пр_{{\bf a}}{\bf b}+ Пр_{{\bf a}}{\bf c}}$ . Поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert\left( Пр_{{\bf a}}{\b... ...}{\bf b}+\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf c}= {\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}.$

Если $ {\bf a}=0$ , то свойство 2 очевидно.

Докажем свойство 3. При $ {\bf b}=0$ свойство очевидно. Пусть $ {\bf b}\ne0$ . Тогда

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\bf b}({\lambda}{\bf a})=\vert{\bf b}\vert Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a}).$

В силу  предложения 10.15 $ { Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a})={\lambda}Пр_{{\bf b}}{\bf a}}$ . Поэтому

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}=\vert{\bf b}\vert{\lambda}Пр_{{\bf b}}{... ..._{{\bf b}}{\bf a}\right)= {\lambda}({\bf b}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}).$

Итак, все свойства доказаны.    

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

 

        Замечание 2.4   Если исходная правильная дробь является чётной функцией от $ x$ , то есть содержит в числителе и знаменателе одни лишь чётные степени $ x$ , то и в правой части разложения достаточно оставить одни лишь чётные относительно $ x$ слагаемые. Действительно, если дробь имеет вид $ R(x)=\frac{\textstyle{P(x^2)}}{\textstyle{Q(x^2)}}$ , где $ P(z)$ и $ Q(z)$  -- многочлены от переменного $ z$ , то мы можем разложить на сумму простейших дробей правильную дробь $ \frac{\textstyle{P(z)}}{\textstyle{Q(z)}}$ , а потом подставить в каждом из слагаемых разложения $ x^2$ вместо $ z$ . Очевидно, что тогда все эти слагаемые, зависящие только от $ x^2$ , будут чётными функциями. Например, разложение правильной дроби

 

$\displaystyle R(x)=\frac{x^2-1}{x^2(x^2+1)}$

следует отыскивать в виде

 

$\displaystyle R(x)=\frac{x^2-1}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x^2+1},$

а не в виде

 

$\displaystyle R(x)=\frac{x^2-1}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{A'}{x}+ \frac{B'x+B}{x^2+1},$

поскольку слагаемые $ \frac{\textstyle{A'}}{\textstyle{x}}$ и $ \frac{\textstyle{B'x}}{\textstyle{x^2+1}}$  -- нечётные функции от $ x$ . Тем самым нам надо будет отыскать всего два неизвестных коэффициента $ A$ и $ B$ вместо четырёх: $ A,\ A',\ B'$ и $ B$ .

Точно так же, в случае когда $ R(x)$  -- нечётная функция от $ x$ , в искомом разложении можно оставить одни лишь нечётные слагаемые: например, разложение дроби

 

$\displaystyle R(x)=\frac{x^3+3x}{(x^2+1)(x^2+4)}$

следует искать в виде

$\displaystyle R(x)=\frac{x^3+3x}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{Ax}{x^2+1}+\frac{Bx}{x^2+4}$

вместо

$\displaystyle R(x)=\frac{x^3+3x}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{Ax+A'}{x^2+1}+\frac{Bx+B'}{x^2+4},$

сэкономив на поиске чётных слагаемых $ \frac{\textstyle{A'}}{\textstyle{x^2+1}}$ и $ \frac{\textstyle{B'}}{\textstyle{x^2+4}}$ , коэффициенты которых $ A'$ и $ B'$ всё равно окажутся равны 0.     

Разобранный выше пример 2.11 показывает, что после разложения правильной дроби в сумму простейших дробей интегрирование сводится к интегрированию полученных простейших дробей. Разберём интегрирование всех четырёх типов простейших дробей по порядку.

Интегрирование простейшей дроби первого типа сводится к применению табличной формулы:

$\displaystyle \int\frac{A}{x-x_0}dx=A\ln\vert x-x_0\vert+C.$

Интегрирование простейшей дроби второго типа сводится к табличной формуле после замены вида $ z=x-x_0$ :

$\displaystyle \int\frac{A}{(x-x_0)^k}dx=A\int z^{-k}dz=A\cdot\frac{1}{-k+1}z^{-k+1}+C= -\frac{A}{k-1}\cdot\frac{1}{(x-x_0)^{k-1}}+C.$

Интегрирование простейшей дроби третьего типа выполняется с помощью выделения в знаменателе полного квадрата и разбиения интеграла на два слагаемых, которые вычисляются как было показано выше в примере:

$\displaystyle \int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx= \left\vert\begin{array}{l} z=x+\frac{p}{2}\\ dz=dx\\ x=z-\frac{p}{2} \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\int\frac{Az+B'}{z^2+a^2}dz=\frac{A}{2}\int\frac{2z\,dz}{z^2+a^2... ... \frac{A}{2}\ln(z^2+a^2)+\frac{B'}{a}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{z}{a}+C,$   

где $ a=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}$ и $ B'=B-\frac{Ap}{2}$ . Осталось подставить $ z=x+\frac{p}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx= \frac{A}{2}\ln(x^2+px+q)+\frac{B-\f... ...}} \mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}+C.$

Разумеется, заучивать полученную формулу не нужно, а нужно научиться выполнять для конкретных примеров все указанные преобразования.

Интегрирование простейшей дроби четвёртого типа также начинается с выделения в знаменателе полного квадрата и замены $ z=x+\frac{p}{2}$ , после чего интеграл $ \int\frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{(x^2+px+q)^l}}dx$ приводится к виду $ \int\frac{\textstyle{Az+B'}}{\textstyle{(z^2+a^2)^l}}dz$ , где $ a>0$ . Разбиваем этот интеграл на два слагаемых:

$\displaystyle \int\frac{Az+B'}{(z^2+a^2)^l}dz= \frac{A}{2}\int\frac{2z\,dz}{(z^2+a^2)^l}+ B'\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^l}.$

Первый из интегралов легко вычисляется заменой $ s=z^2+a^2$ :

$\displaystyle \int\frac{2z\,dz}{(z^2+a^2)^l}=\ln(z^2+a^2)+C.$

Для второго интеграла,

$\displaystyle I_l=\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^l},$

мы можем получить формулу понижения степени, если преобразуем его следующим образом:

$\displaystyle I_l=\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^l}=\frac{1}{a^2}\int\frac{a^2}{(z^2+a^2)^l}dz= \frac{1}{a^2}\int\frac{(z^2+a^2)-z^2}{(z^2+a^2)^l}dz=$(2.4*)
$\displaystyle =\frac{1}{a^2}\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^{l-1}}- \frac{1}{a^2}\int\... ...^2+a^2)^l}dz= \frac{1}{a^2}I_{l-1}-\frac{1}{a^2}\int\frac{z^2}{(z^2+a^2)^l}dz.$(2.5)

Последний интеграл преобразуем, применив формулу интегрирования по частям:

$\displaystyle \int\frac{z^2}{(z^2+a^2)^l}dz=\left\vert\begin{array}{l} u=z\\ ... ...c{z\,dz}{(z^2+a^2)^l}=-\frac{1}{2(l-1)(z^2+a^2)^{l-1}} \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =-\frac{z}{2(l-1)(z^2+a^2)^{l-1}}+\frac{1}{2(l-1)}\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^{l-1}}= -\frac{z}{2(l-1)(z^2+a^2)^{l-1}}+\frac{1}{2(l-1)}I_{l-1} .$   

Подставив это выражение в (2.4*), получаем:

$\displaystyle I_l=\frac{1}{a^2}I_{l-1}-\frac{1}{a^2}\Bigl( -\frac{z}{2(l-1)(z^2+a^2)^{l-1}}+\frac{1}{2(l-1)}I_{l-1}\Bigr).$

Это и есть формула понижения степени, сводящая вычисление интеграла $ I_l$ к вычислению интеграла $ I_{l-1}$ . Если $ l=2$ , то интеграл $ I_{l-1}=I_1=\int\frac{\textstyle{dz}}{\textstyle{z^2+a^2}}=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{a}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\textstyle{z}}{\textstyle{a}}+C$  -- табличный; если же $ l>2$ , то для вычисления $ I_{l-1}$ нужно снова применить формулу понижения степени, и так до тех пор, пока не получится тот же табличный интеграл $ I_1$ .

Математический анализ Типовые расчеты по математике