Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


        Теорема 10.3   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

        Доказательство.    По условию $ {\bf a}={\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}$ , $ {\bf b}={\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+ {\beta}_3{\bf k}$ . В силу свойств 1 - 3 ( теорема 10.2) скалярного произведения получим

 

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\bf a}({\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+{\beta}_3{\bf k})={\beta}_1{\bf a}{\bf i}+{\beta}_2{\bf a}{\bf j}+{\beta}_3{\bf a}{\bf k}.$(10.2)


 

Используя те же свойства, находим $ {\bf a}{\bf i}=({\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}){\bf i}= {\alpha}_1{\bf i}^2+{\alpha}_2{\bf j}{\bf i}+{\alpha}_3{\bf k}{\bf i}$ . В силу свойства 5, находим $ {{\bf i}^2=1}$ , а по свойству 8 получим $ {\bf j}{\bf i}={\bf k}{\bf i}=0$ . Таким образом, $ {{\bf a}{\bf i}={\alpha}_1}$ . Аналогично находим, что $ {\bf a}{\bf j}={\alpha}_2$ , $ {\bf a}{\bf k}={\alpha}_3$ . Подставив полученные результаты в формулу (10.2), получим требуемую формулу (10.1).    

Так как $ {\vert{\bf a}\vert^2={\bf a}^2}$ , то из  теоремы 10.3 вытекает, что если $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , то

 

$\displaystyle \vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+{\alpha}_3^2}$(10.3)


 

Пусть в пространстве заданы точки $ A(x_1,y_1,z_1)$ и $ B(x_2,y_2,z_2)$ . Тогда $ {\overrightarrow {AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)}$ . Длина отрезка $ AB$ , то есть расстояние между точками $ A$ и $ B$ , будет равна $ \vert\overrightarrow {AB}\vert$ , и по формуле (10.3) получим

 

$\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$(10.4)


 

Читатель без труда перенесет полученные результаты этого раздела на случай двумерного векторного пространства. Формулы (10.1), (10.3), (10.4) останутся справедливыми, только из них нужно исключить третью координату.

Разберем два примера на использование скалярного произведения.

Задача. Даны вершины треугольника: $ A(2;-1;3)$ , $ B(1;1;1)$ , $ C(0;0;5)$ . Найдите длину стороны $ AB$ и $ \angle ABC$ .

Решение. $ \overrightarrow {BA}=(1;-2;2)$ , $ \overrightarrow {BC}=(-1;-1;4)$ , $ AB=\vert\overrightarrow {AB}\vert= \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$ .
$ \cos\angle ABC=\dfrac{\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}}{\bigl\vert\overrightarrow {BA}\bigr\vert \cdot\bigl\vert\overrightarrow {BC}\bigr\vert}$ , $ \quad \overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=1\cdot(-1)+(-2)(-1)+2\cdot 4=9$ ,
$ \vert\overrightarrow {BC}\vert=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt 2$ , $ \quad \cos\angle ABC=\frac 1{\sqrt 2}$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .

Ответ: $ AB=3$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .    

Задача. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $ {\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и $ {\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $ 60^{\circ}$ .

Решение. В этой задаче не заданы координаты векторов в ортонормированном базисе $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$ . Поэтому воспользоваться формулами  (10.1), (10.3) так просто не получится.

Сделав схематический рисунок (рис. 10.24),




Рис.10.24.


убеждаемся, что вектор $ {\bf d}_1$ , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле $ {{\bf d}_1={\bf a}+{\bf b}}$ , а другой -- $ {{\bf d}_2={\bf a}-{\bf b}}$ . Отсюда $ {{\bf d}_1=3{\bf m}-{\bf n}}$ и $ {{\bf d}_2={\bf m}+3{\bf n}}$ . В силу свойства 5 ( теорема 10.3) скалярного произведения получим

 

$\displaystyle \vert{\bf d}_1\vert^2= {\bf d}_1^2=(3{\bf m}-{\bf n})(3{\bf m}-{\bf n})=9{\bf m}^2-3{\bf m}{\bf n}-3{\bf m}{\bf n}+{\bf n}^2=$

 

 

$\displaystyle=9\vert{\bf m}\vert^2-6{\bf m}{\bf n}+ \vert{\bf n}\vert^2=9-6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+1=7.$

 

Аналогично, $ {\bf d}_2=({\bf m}+3{\bf n})({\bf m}+3{\bf n})={\bf m}^2+6{\bf m}{\bf n}+9{\bf n}^2= 1+6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+9=13$ .

Ответ: 7 и 13.    

 

 

        Пример 2.9   Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

 

\begin{displaymath} \arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrr@{\,}r\vert l} x^3&... ...antom{2}1\\ &&12x&{}-24\\ \cline{3-4} &&&25 \end{array} \end{displaymath}

Таким образом, мы представили неправильную рациональную дробь $ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ в виде

 

$\displaystyle R(x)=\frac{x^3+5x^2-2x+1}{x-2}=x^2+7x+12+\frac{25}{x-2};$

здесь мы получили частное $ S(x)=x^2+7x+12$ и остаток $ T(x)=25$  -- многочлен нулевой степени, то есть постоянную.     

Знаменатель $ Q(x)=x^n+b_1x^{n-1}+\ldots+b_{n-1}x+b_n$ раскладывается в произведение вещественных линейных и квадратичных множителей, то есть имеет вид

$\displaystyle Q(x)=(x-x_1)^{k_1}\ldots(x-x_s)^{k_s}\cdot (x^2+p_1x+q_1)^{l_1}\ldots(x^2+p_tx+q_t)^{l_t}=$   
$\displaystyle =\prod_{j=1}^s(x-x_j)^{k_j}\prod_{j=1}^t(x^2+p_jx+q_j)^{l_j}.$   

Линейный множитель $ x-x_j$ повторяется в разложении $ k_j$ раз, это означает, что вещественное число $ x_j$  -- корень многочлена $ Q(x)$ кратности $ k_j$ . Относительно квадратичных множителей $ x^2+p_jx+q_j$ мы будем предполагать, что они не имеют вещественных корней, то есть что их дискриминанты отрицательны:

 

$\displaystyle D_j=p_j^2-4q_j<0,$

и корни составляют пару комплексно сопряжённых чисел:

 

$\displaystyle {\alpha}_j\pm i{\beta}_j=-\frac{p_j}{2}\pm i\frac{\sqrt{-D_j}}{2}.$

(Здесь и далее $ i$  -- мнимая единица, так что $ i^2=-1$ .) Квадратичный множитель $ x^2+p_jx+q_j$ повторяется в разложении $ l_j$ раз; это соответствует тому, что каждое из комплексно сопряжённых чисел $ {\alpha}_j+i{\beta}_j$ и $ {\alpha}_j-i{\beta}_j$ служит $ l_j$ -кратным корнем многочлена $ Q(x)$ .

Указанное разложение многочлена $ Q(x)$ можно выписать, если каким-либо способом отыскать все его корни, как вещественные, так и комплексные, и найти их кратности. Заметим также, что сумма кратностей всех корней равна степени многочлена:

 

$\displaystyle k_1+\ldots+k_s+2(l_1+\ldots+l_t)=n.$

Если найден какой-либо корень $ x_j$ , то это означает, что $ Q(x)$ делится на бином $ x-x_j$ без остатка:

 

$\displaystyle Q(x)=(x-x_j)Q'(x),$

где степень частного $ Q'(x)$ равна $ n-1$ . Точно так же, если найден какой-либо комплексный корень $ {\alpha}_j+i{\beta}_j$ (тогда и сопряжённое число $ {\alpha}_j-i{\beta}_j$ тоже является корнем $ Q(x)$ ), то $ Q(x)$ делится без остатка на произведение $ (x-{\alpha}_j-i{\beta}_j)(x-{\alpha}_j+i{\beta}_j)=x^2+p_jx+q_j$ , то есть

 

$\displaystyle Q(x)=(x^2+p_jx+q_j)Q''(x),$

где степень частного $ Q''(x)$ равна $ n-2$ .

        Замечание 2.3   Если $ Q(x)$  -- многочлен с целочисленными коэффициентами $ b_1,\dots,b_n$ , то, согласно теореме Виета, все целые корни этого многочлена содержатся среди делителей (как положительных, так и отрицательных) свободного члена $ b_n$ . Проверив все эти делители, мы можем натолкнуться на некоторые из корней; если же ни один из делителей $ b_n$ не является корнем $ Q(x)$ , то это означает, что $ Q(x)$ не имеет ни одного целого корня.     

Математический анализ Типовые расчеты по математике