Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пример 19.10 Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
Решение. Составляем характеристическую матрицу $ {A-{\lambda}E}$ :
$\displaystyle A-{\lambda}E=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end... ...}{ccc}1-{\lambda}&-3&4\\ 4&-7-{\lambda}&8\\ 6&-7&7-{\lambda}\end{array}\right).$
Находим характеристический многочлен
\begin{multline*} \vert A-{\lambda}E\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambd... ...-7-{\lambda})\big)=\\ =-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3. \end{multline*}
Решим характеристическое уравнение
$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=0.$
Подбором находим, что один корень уравнения равен $ -1$ . Есть теорема, которая говорит, что если число $ c$ является корнем многочлена $ {P(x)}$ , то многочлен $ {P(x)}$ делится на разность $ {x-c}$ , то есть $ {P(x)=(x-c)Q(x)}$ , где $ {Q(x)}$ -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен $ {-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3}$ должен делиться на $ {{\lambda}-(-1)}$ . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель $ {{\lambda}+1}$ :
\begin{multline*} -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=(-{\lambda}^3-{\lambda}... ...+3({\lambda}+1)=\\ =({\lambda}+1)(-{\lambda}^2+2{\lambda}+3). \end{multline*}
Находим корни трехчлена $ {-{\lambda}^2+2{\lambda}+3}$ . Они равны $ -1$ и 3. Таким образом,
$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=-({\lambda}+1)^2({\lambda}-3),$
$ {{\lambda}_1=-1}$ -- корень кратности 2 17.7 b, $ {{\lambda}_2=3}$ -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы $ A$ равны $ {{\lambda}_1=-1}$ , $ {{\lambda}_2=3}$ . Найдем соответствующие им собственные векторы.
Пусть $ {{\lambda}=-1}$ , тогда для собственного вектора $ {\alpha}$ получаем матричное уравнение
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)=0,$
что соответствует системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2+4{\alpha}_3=0,\\ ... ...2+8{\alpha}_3=0,\\ 6{\alpha}_1-7{\alpha}_2+8{\alpha}_3=0. \end{array}\right.$
Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 4&-6&8&0\\ 6&-7&8&0\end{array}\right).$
Первую строку, умноженную на числа $ -2$ и $ -3$ прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&0&0&0\\ 0&2&-4&0\end{array}\right).$
Меняем местами вторую и третью строки
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&2&-4&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Возвращаемся к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2-4{\alpha}_3&0,\\ 2{\alpha}_2+4{\alpha}_3&0\end{array}\right.$
Базисный минор матрицы $ A_2^*$ находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные $ {\alpha}_1$ и $ {\alpha}_2$ оставляем в левой части, а переменное$ {\alpha}_3$ переносим в правую часть
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2&-4{\alpha}_3,\\ 2{\alpha}_2&4{\alpha}_3\end{array}\right.$
Полагаем $ {{\alpha}_3=1}$ , находим $ {{\alpha}_2=2}$ , $ {{\alpha}_1=1}$ . Итак, собственному числу $ {{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ .
Пусть $ {{\lambda}=3}$ , тогда для собственного вектора $ {\beta}$ получаем матричное уравнение
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&4\\ 4&-10&8\\ 6&-7&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right) =0,$
что соответствует системе уравнений $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3=0,\\ 4{\... ...beta}_2+8{\beta}_3=0,\\ 6{\beta}_1-7{\beta}_2+4{\beta}_3=0.\end{array}\right.$
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу $\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 4&-10&8&0\\ 6&-7&4&0\end{array}\right).$
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам $\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&-16&16&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножаем на $ -1$ и прибавляем к третьей
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Возвращаемся к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3&0,\\ -16{\beta}_2+16{\beta}_3&0\end{array}\right.$
Базисный минор матрицы $ A_2^*$ находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные $ {\beta}_1$ и $ {\beta}_2$ оставляем в левой части, а переменное $ {\beta}_3$ переносим в правую часть
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2&-4{\beta}_3,\\ -16{\beta}_2&-16{\beta}_3\end{array}\right.$
Полагаем $ {{\beta}_3=1}$ , находим $ {{\beta}_2=1}$ , $ {{\beta}_1=0.5}$ . Итак, собственному числу $ {{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу $ {{\lambda}_2=3}$ соответствует собственный вектор $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .
Ответ: Собственные числа: $ {{\lambda}_1=-1}$ , $ {{\lambda}_2=3}$ , соответствующие собственные векторы: $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

 4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

 Обозначается PÉQ (или РÞQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

 

P

Q

PÞQ

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

И

[an error occurred while processing this directive]  

 5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

 Обозначается Р~Q или РÛQ.

 

P

Q

P~Q

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

 

 С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

 

 

 Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

 Составим таблицы истинности для каждой формулы:

 

p

r

(pÙr)

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

И

И

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

 

p

r

И

И

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

И

И

И

Л

И

И

Л

И

И

Л

Л

И

И

И

И

 

  Данные формулы не являются эквивалентными.

Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить = = а sin t.

 Так как выражение имеет смыл только при |x| £ a, то и первообразная ищется на промежутке –а < x < a, следовательно, можно считать, что  тогда = а cos t.

II. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить .

  В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t.

 В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

III. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить х = а tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле (), при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике