дифференциальные уравнения типовой расчет

Учебник Microsoft Office Математика Задачи Экспертный анализ Access Базы данных Администрирование

В качестве функции ${\lambda}(x)$ берут любую постоянную ${\lambda}_0$ , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная ${\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:
$\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),$
и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .
Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и ${\lambda}_0$ . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом $\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$ . Тогда уравнением этой прямой будет
$\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).$
Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения
$\displaystyle f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i)=0,$
откуда $x=x_i-{\lambda}_0f(x_i)=x_{i+1}$ . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся секущие с угловым коэффициентом $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$ того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .

Рис.9.11.Последовательные итерации метода секущих

На чертеже слева изображены итерации при , в случае $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}<f'(x_0)$ и в случае $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}>f'(x_0)$ . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами, как выглядит процесс в случае , то есть когда функция убывает.)
Достаточное условие сходимости, которое нам даёт теорема 9.3, таково:
$\displaystyle \vert{\varphi}'(x)\vert=\vert 1-{\lambda}_0f'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1.$
Это неравенство можно записать в виде
$\displaystyle -{\gamma}+1\leqslant {\lambda}_0f'(x)\leqslant {\gamma}+1,$
откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,
$\displaystyle {\lambda}_0f'(x)>0,$
так как $-{\gamma}+1>0$ (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ${\lambda}_0$ ), а во-вторых, когда ${\lambda}_0f'(x)<2$ при всех на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если
$\displaystyle \vert k\vert=\dfrac{1}{\vert{\lambda}_0\vert}>\dfrac{M_1}{2},$
где $M_1=\max\limits_{x}\vert f'(x)\vert$ . Таким образом, угловой коэффициент не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка может выскочить из рассматриваемой окрестности корня , и сходимость итераций к корню может быть нарушена.