Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

  Пример 19.11   Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$
к каноническому виду.
Решение. Квадратичная форма имеет вид
$\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz.$
Выписываем ее матрицу
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&1&3\\ 1&5&1\\ 3&1&1\end{array}\right).$
Находим ее собственные числа. Для этого запишем характеристическое уравнение
$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambda}&1&3\\ 1&5-{\lambda}&1\\ 3&1&1-{\lambda}\end{array}\right\vert=0.$
После вычисления определителя получим
$\displaystyle -{\lambda}^3+7{\lambda}^2-36=0.$
Подбором находим один корень $ {{\lambda}_1=3}$ . Преобразуем уравнение, выделяя множитель $ {{\lambda}-3}$
$\displaystyle -{\lambda}^3+3{\lambda}^2+4{\lambda}^2-12{\lambda}+12{\lambda}-36=0$
или
$\displaystyle -{\lambda}^2({\lambda}-3)+4{\lambda}({\lambda}-3)+12({\lambda}-3)=0,$
откуда
$\displaystyle ({\lambda}-3)({\lambda}^2-4{\lambda}-12)=0.$
Находим два других корня характеристического уравнения $ {{\lambda}_2=6}$ и $ {{\lambda}_3=-2}$ .
Находим собственные векторы. Для собственного числа $ {{\lambda}_1=3}$ для координат собственного вектора $ {\alpha}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\alpha}_1+{\alpha}_2+3{\alpha}_3=0,\\ {... ...ha}_2+{\alpha}_3=0,\\ 3{\alpha}_1+{\alpha}_2-2{\alpha}_3=0.\end{array}\right.$
Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)}$ . Для собственного числа $ {{\lambda}_2=6}$ для координат собственного вектора $ {\beta}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-5{\beta}_1+{\beta}_2+3{\beta}_3=0,\\ {\be... ...{\beta}_2+{\beta}_3=0,\\ 3{\beta}_1+{\beta}_2-5{\beta}_3=0.\end{array}\right.$
Отсюда находим собственный вектор $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ . Для собственного числа $ {{\lambda}_3=-2}$ для координат собственного вектора $ {\gamma}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}3{\gamma}_1+{\gamma}_2+3{\gamma}_3=0,\\ {\... ...ma}_2+{\gamma}_3=0,\\ 3{\gamma}_1+{\gamma}_2+3{\gamma}_3=0.\end{array}\right.$
Отсюда находим собственный вектор $ {{\gamma}=\left(\begin{array}{r}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ .
Легко проверить, что $ {({\alpha},{\beta})=({\alpha},{\gamma})=({\beta},{\gamma})=0}$ , то есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно $ \sqrt3$ , $ \sqrt6$ , $ \sqrt 2$ . Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты
$\displaystyle {\bf i}'=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}\... ...\ \vphantom{\dfrac11}0\\ \vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt2}\end{array}\right).$
Матрица перехода имеет вид
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}\vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}&\frac... ...hantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}\end{array}\right).$
Старые координаты связаны с новыми уравнением $ {\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)= S\left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right)}$ , то есть
\begin{multline*} x=\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'-\frac1{\sqrt2}z',\quad ... ...6}y',\\ z=\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'+\frac1{\sqrt2}z'. \end{multline*}(19.10)
 


Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа

\begin{multline*} 3(x')^2+6(y')^2-2(z')^2-2\left(\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6... ...ft(\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'+\frac1{\sqrt2}z'\right)=0. \end{multline*}

Приводим подобные члены

$\displaystyle 3(x')^2+6(y')^2-2(z')^2-\frac6{\sqrt3}x'+\frac{12}{\sqrt6}y'+\frac4{\sqrt2}z'=0.$

Выделим полные квадраты

\begin{multline*} 3\left((x')^2-\frac2{\sqrt3}x'+\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2\... ...z')^2-\frac2{\sqrt2}z'+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2\right)+1=0 \end{multline*}

или

$\displaystyle 3\left(x'-\frac1{\sqrt3}\right)^2+6\left(y'+\frac1{\sqrt6}\right)^2-2\left(z'-\frac1{\sqrt2}\right)^2=1.$

Выполняем параллельный перенос осей координат

$\displaystyle \tilde x=x'-\frac1{\sqrt3},\quad \tilde y=y'+\frac1{\sqrt6},\quad \tilde z=z'-\frac1{\sqrt2}.$

Новое начало системы координат $ O_1$ имеет координаты

$\displaystyle x'=\frac1{\sqrt3},\quad y'=-\frac1{\sqrt6},\quad z'=\frac1{\sqrt2}.$

В исходной системе координат точка $ O_1$ в соответствии с формулами (19.10) имеет координаты

$\displaystyle x=-\frac13,\quad y=-\frac23,\quad z=\frac23.$



Рис.19.9.Система координат $ {O_1\tilde x\tilde y\tilde z}$


В новой системе координат $ {O_1\tilde x\tilde y\tilde z}$ (рис. 19.9) уравнение принимает канонический вид

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2}+\frac{\tilde y^2... ...(\frac1 {\sqrt6}\right)^2}-\frac{\tilde z^2}{\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2}=1.$

Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке $ O_1$ , две вещественные оси параллельны векторам $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , вещественные полуоси равны $ {\frac1{\sqrt3}}$ , $ {\frac1 {\sqrt6}}$ . Мнимая ось параллельна вектору $ {\bf k}'$ , мнимая полуось равна $ {\frac1{\sqrt2}}$ . Изображение гиперболоида приведено на рисунке 19.10.




Рис.19.10.Изображение гиперболоида

      

 Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки rÎU.

 Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F – открыто.

 Отметим следующие свойства:

 1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.

 2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

 3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.

 4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

 Определение. Если А – любое множество в топологическом пространстве Е, то объединение всех открытых множеств, содержащихся в А, открыто. Это объединение называется внутренностью множества А. Обозначается IntA. Это объединение будет наибольши открытым множеством, содержащимся в А.

 Определение. Множество  называется замыканием множества А. Множество FrA = CA называется границей множества А.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 Так называются дифференциалы вида хm(a + bxn)p dx, где а, b – постоянные, отличные от нуля, m, n, p – рациональные числа.

 Первообразная для функции хm(a + bxn)p является элементарной функцией в следующих трех случаях: а) р – целое, б) - целое, в) - целое;

 а) если р – целое, то полагают x = z где N – общий знаменатель дробей m и n.

 Пример 12. Вычислим

.

Решение. Положим x = z6, поскольку р = –2 – целое. Тогда ,

, dx = 6z5dz.

.

Следовательно,

.

 б) если  – целое, тогда полагают а + bxn = zN , где N – знаменатель дроби р.

Математический анализ Типовые расчеты по математике