Типовой расчет ТФКП комплексная переменная

Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела Метод Ньютона Нахождени е дифференциала Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики

     Пример 9.7 Решим методом Ньютона всё то же уравнение , взяв в качестве начального приближения и задав точность ${\varepsilon}=0.000001$ (ту же, что была взята при решении этого уравнения методом одной касательной). Поскольку , то итерационная формула метода Ньютона будет такой:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^3+2x_i^2+3x_i+5}{3x_i^3+4x_i+3}.$
Применяя эту формулу, последовательно находим:

$\displaystyle x_1=-1.857143;x_2=-1.843842;x_3=-1.843734;x_4=-1.843734,$
так что $\wt x=-1.843734$ с точностью ${\varepsilon}$ . Как мы видим, значение корня с нужной нам точностью было получено уже на третьем шаге. (Четвёртый шаг понадобился для того, чтобы можно было убедиться, что с нужной нам точностью значение перестало изменяться.)
        Упражнение 9.2 Найдите тот же корень, начав с . (Заметим, что итерационную формулу при этом менять не надо, в отличие от метода одной касательной.) Сколько потребуется итераций для достижения той же точности? Обратите внимание на то, что сначала приближения ( и ) окажутся даже вне отрезка , но затем быстро сходятся к с той же стороны, что в примере.
Ответ: Потребуется 6 итераций.
Определение. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией от х.

Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)
При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a).

Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f₁(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.
Переходя к пределу при х ® a, получаем f(a) = R.

Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.
Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xⁿ.
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:
k_i - кратность соответствующего корня.

Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.

Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.