Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 

Как уже отмечалось выше, если известно, что точка локального экстремума функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ единственна и лежит внутри отрезка, то в этой точке $ x^*$ выполняется равенство $ f'(x^*)=0$. Таким образом, для нахождения точки локального минимума с точностью $ {\varepsilon}$ нужно с этой точностью найти корень уравнения $ f'(x)=0$. Будем предполагать, что для функции $ f'(x)$ известно аналитическое выражение или мы умеем вычислять значения $ f'(x)$ при заданном $ x$ каким-либо иным способом. Для нахождения корня мы можем применить один из приближённых методов решения уравнений, которые мы обсуждали в этой главе ранее.

Например, метод Ньютона, применённый к уравнению $ f'(x)=0$, даёт итерационную формулу (см. формулу (9.1)):

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f'(x_i)}{f''(x_i)},$

$ i=0,1,2,\dots$, причём для начала итераций нужно выбрать начальное приближение $ x_0$. При этом нужно будет уметь вычислять и вторую производную, а также предполагать, что она не обращается в 0 на интересующем нас отрезке.

Метод хорд даёт итерационную формулу (см. формулу (9.3)):

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f'(x_i)}{\dfrac{f'(x_i)-f'(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}},$

$ i=1,2,3,\dots$, причём для начала нужно выбрать два начальных значения $ x_0$ и $ x_1$.

Эти методы весьма эффективны, если выполняются условия их применимости. Их достоинства и недостатки-- продолжение тех же свойств соответствующих методов приближённого поиска корня.

 Определение. Упорядоченной парой (a, b) двух элементов a и b называется множество {{a},{a, b}}.

 Для любых элементов a, b, c, d справедливо соотношение:

 

 Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где аÎА, bÎB.

 

 

 Декартово произведение п равных множеств А будет называться п – й декартовой степенью множества А и обозначаться Аn.

  [an error occurred while processing this directive]

 Определение. n – мерным отношением  R на непустом множестве А называется подмножество Аn. Если R – n – мерное отношение на множестве А и (а1,а2,…аn)ÎR, то говорят, что отношение R выполняется для элементов а1,а2,…аn и записывают R а1а2…аn. Если n = 2, то такое отношение называется бинарным.

 Для бинарного отношения вместо общей записи Ra1a2 применяют запись а1Ra2.

 

Свойства бинарных отношений.

 

 Определение. Произведением двух бинарных отношений R и S, заданных на множестве А, называется множество

 Знак | называется штрих Шеффера и обозначает антиконъюнкцию.

 

 

Определение. Обратным (инверсным) отношением к отношению R, заданному на множестве А, называется отношение R-1, определяемое равенством:

 

 Если R, S и T – бинарные отношения на множестве А, то выполняются следующие равентсва:

 

 

 

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 Так называются дифференциалы вида хm(a + bxn)p dx, где а, b – постоянные, отличные от нуля, m, n, p – рациональные числа.

 Первообразная для функции хm(a + bxn)p является элементарной функцией в следующих трех случаях: а) р – целое, б) - целое, в) - целое;

 а) если р – целое, то полагают x = z где N – общий знаменатель дробей m и n.

 Пример 12. Вычислим

.

Решение. Положим x = z6, поскольку р = –2 – целое. Тогда ,

, dx = 6z5dz.

.

Следовательно,

.

 б) если  – целое, тогда полагают а + bxn = zN , где N – знаменатель дроби р.

Математический анализ Типовые расчеты по математике