Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

Определение 10.26 Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию
1) $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi}$ , где $ {\varphi}$ -- угол между a и b и, если $ \vert{\bf c}\vert\ne0$ , то еще двум условиям:
2) вектор c ортогонален векторам a и b;
3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).

Замечание 10.5 Угол между векторами в пространстве всегда удовлетворяет условию $ 0\leqslant {\varphi}\leqslant \pi$ . Таким образом, $ \sin{\varphi}\geqslant 0$ . Если $ {\bf a}=0$ или $ {\bf b}=0$ , то считается, что векторное произведение равно 0.

Векторное произведение вектора a на вектор b обозначается $ {\bf a}\times{\bf b}$ или $ [{\bf a},{\bf b}]$ .

Предложение 10.18 Векторное произведение антикоммутативно, то есть
$\displaystyle {\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}.$
[an error occurred while processing this directive]

В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.

Доказательство. Пусть $ {\bf c}={\bf a}\times {\bf b}$ , $ {\bf d}={\bf b}\times {\bf a}$ . Нужно показать, что $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Из условия 1 следует, что $ {\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert}$ . Если $ {\vert{\bf c}\vert=0}$ , то очевидно, что $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Если $ {\vert{\bf c}\vert\ne0}$ , то векторы c и d-- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: $ {{\bf c}={\bf d}}$ или $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Пусть вектор $ {{\bf d}={\bf b}\times {\bf a}}$ совпадает с вектором $ {{\bf c}={\bf a}\times {\bf b}}$ . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ .

Рациональные функции и их интегрирование

Функция $ R(x)$ называется рациональной функцией, или рациональной дробью, если она представляет собой отношение двух многочленов $ P(x)$ и $ Q(x)$ :

$\displaystyle R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$

Пусть степень многочлена $ P(x)$ равна $ m$ , а степень $ Q(x)$ равна $ n$ , то есть

 

$\displaystyle P(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\ldots+a_{m-1}x+a_m;\ % Q(x)=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\ldots+b_{n-1}x+b_n,$

где $ a_0\ne0$ и $ b_0\ne0$ . Разделив числитель и знаменатель на число $ b_0$ , мы получим, что коэффициент при старшей степени $ x^n$ в знаменателе равен 1. Для дальнейшего нам будет удобно предполагать, что эта операция уже произведена, то есть что $ b_0=1$ . Далее мы будем предполагать, что все коэффициенты $ a_j$ и $ b_j$  -- вещественные числа.

Если $ m<n$ , то дробь $ R(x)$ называется правильной, а если $ m\geqslant n$ , то неправильной. Если дробь неправильная, то её числитель $ P(x)$ можно поделить на знаменатель $ Q(x)$ , получив при этом частное $ S(x)$ и остаток $ T(x)$ , степень которого $ m'$ меньше $ n$ . Это означает, что

 

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{T(x)}{Q(x)}$

или что

 

$\displaystyle P(x)=S(x)Q(x)+T(x),$

где $ S(x)$  -- некоторый многочлен, называемый целой частью рациональной дроби $ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ . Если остаток $ T(x)$ тождественно равен 0, то многочлен $ P(x)$ делится на $ Q(x)$ без остатка, и функция $ R(x)$ является многочленом, то есть совпадает со своей целой частью $ S(x)$ .

С интегрированием целой части дроби $ R(x)$ , то есть многочлена $ S(x)$ , не возникает никаких проблем, так что в дальнейшем мы можем заняться выяснением способов интегрирования лишь правильных рациональных дробей.

Для нахождения частного $ S(x)$ и остатка $ T(x)$ можно применять алгоритм деления многочленов "столбиком".

Математический анализ Типовые расчеты по математике