Примеры по математике Из определения векторного произведения получим

Предложение 10.19 Векторное произведение ${\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b-- коллинеарные.

Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что ${{\bf a}\times {\bf b}=0}$ тогда и только тогда, когда ${{\bf a}=0}$ , или ${{\bf b}=0}$ , или ${\sin {\varphi}=0}$ . Из последнего равенства получим, что ${{\varphi}=0}$ или ${{\varphi}=\pi}$ , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.

Предложение 10.20 Для любых векторов a и b и любого числа ${\lambda}$ выполняется равенство ${({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ .

Доказательство. Если ${\lambda}=0$ , то утверждение очевидно. Если векторы a и b-- коллинеарные, то векторы ${\lambda}{\bf a}$ и b-- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть ${\lambda}>0$ , a, b-- неколлинеарные, ${{\bf c}=({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}}$ , ${{\bf d}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами ${\lambda}{\bf a}$ и b, равны. Следовательно,

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...a}\times {\bf b}\vert={\lambda}\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, ${{\bf c}={\bf d}}$ .

Пусть ${\lambda}<0$ . Тогда векторы ${\lambda}{\bf a},{\bf b}$ образуют угол $\psi, \psi=\pi-{\varphi}$ , рис. 10.25.

Рис.10.25.

Вычисляем модули:

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...\varphi})= \vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

$\displaystyle \vert{\bf d}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Векторы ${\bf a}\times {\bf b}, {\bf c}$ и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы ${\bf a}\times{\bf b}$ и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от ${\lambda}{\bf a}$ к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору ${\bf a}\times{\bf b}$ (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что ${\bf c}={\bf d}$ .

Предложение 10.21 Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть ${{\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}}$ .

Доказательство это свойства будет проведено позже.

С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.

Предложение 10.22 Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

$\displaystyle S_{пар}=\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле

$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

Предложение 10.23 Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Доказательство. Пусть a и b-- любые неколлинеарные векторы, ${{\bf c}={\bf b}}$ . Тогда вектор ${{\bf a}\times {\bf b}\ne0}$ , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы ${\bf a}\times{\bf b}$ и c-- неколлинеарные, поэтому ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne0}$ . С другой стороны, ${{\bf b}\times {\bf c}={\bf b}\times {\bf b}=0}$ по предложению 10.19. Поэтому ${{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})=0}$ . Получили, что ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Пример 2.3 Найдём интеграл

$\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx.$

Отделяя один множитель $\sin x$ от нечётной степени и объединяя с дифференциалом, получаем:

$\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx= \int\sin^2x\cos^2x\,(\sin x\,dx)= \int(1-\cos^2x)\cos^2x\,\Bigl(-d(\cos x)\Bigr)=$
$\displaystyle =-\int(1-c^2)c^2\,dc= -\int(c^2-c^4)dc=-\frac{c^3}{3}+\frac{c^5}{5}+C= -\frac{\cos^3x}{3}+\frac{\cos^5x}{5}+C,$

где $c=\cos x$ .

в). Заметим, что этот же способ годится и для упрощения интегралов вида

$\displaystyle \int\sin^mx\;g(\cos x)\;dx$ и $\displaystyle \int\cos^nx\;g(\sin x)\;dx,$

если

-- нечётные положительные числа.

Пример 2.4 Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx.$

Отделяя один множитель $\cos x$ от нечётной степени и объединяя с

, мы видим, что подынтегральное выражение зависит только от $\sin x$ ; это означает, что нужно сделать замену $s=\sin x$ :

$\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx= \int\frac{\cos^2x}{1+\sin^2x}(\cos x\,dx)= \int\frac{1-\sin^2x}{1+\sin^2x}d(\sin x)= \int\frac{1-s^2}{1+s^2}ds.$

Выделим в рациональной дроби $\frac{\textstyle{1-s^2}}{\textstyle{1+s^2}}$ целую часть:

$\displaystyle \frac{1-s^2}{1+s^2}=\frac{-(s^2+1)+2}{s^2+1}=-1+2\cdot\frac{1}{s^2+1}.$

После этого получаем:

$\displaystyle \int\frac{1-s^2}{1+s^2}ds=\int\Bigl(-1+2\cdot\frac{1}{s^2+1}\Bigr... ...thop{\rm arctg}\nolimits s+C=-\sin x+2\mathop{\rm arctg}\nolimits (\sin x)+C.$

г). Рассмотрим теперь случай вычисления интеграла

$\displaystyle \int\sin^mx\cos^nx\,dx,$

где оба числа

-- чётные неотрицательные.

Такие интегралы упрощаются при помощи тригонометрических формул понижения степени:

$\displaystyle \cos^2{\alpha}=\frac{1}{2}(1+\cos2{\alpha});\ % \sin^2{\alpha}=\frac{1}{2}(1-\cos2{\alpha}).$

Полезна также ещё одна формула понижения степени:

$\displaystyle \sin{\alpha}\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\sin2{\alpha}.$

После применения этих формул (быть может, неоднократного) и раскрытия скобок получаются интегралы, в которых степень синуса или косинуса нечётна. Они либо сразу сводятся к табличным линейной заменой, либо их можно вычислить тем способом, что разобран выше, в п. б).

Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч